Bifurcations dans des systèmes avec bruit: Applications aux Sciences Sociales et à la Physique = Bifurcations and Noisy Systems: Social and Physical Applications.

Abstract

La théorie des bifurcations est utilisée pour étudier certains aspects des systèmes dynamiques qui intervient lorsqu'un petit changement d'un paramètre physique produit un changement majeur dans l'organisation du système. Ces phénomènes ont lieu dans les systèmes physiques, chimiques, biologiques, écologiques, économiques et sociaux. Cette idée unificatrice a été appliquée pour modéliser et explorer à la fois tant les systèmes sociaux que les systèmes physiques. Dans la première partie de cette thèse, nous appliquons les outils de la physique statistique et de la théorie des bifurcations pour modéliser le problème des décisions binaires dans les sciences sociales. Nous avons mis au point un schéma permettant de prédire l’apparition de sauts extrêmes dans ces systèmes en se basant sur la notion de précurseurs, utilisés comme signal d'alerte d'apparition de ces événements catastrophiques. Nous avons également résolu un modèle mathématique d’effondrement social fondé sur une équation de "régression logistique" utilisée pour décrire la croissance d’une population et la façon dont celle-ci peut être influencée par des ressources limitées. Ce modèle présente des bifurcations sous-critiques et nous avons étudié sa relation avec le phénomène social du « sunk-cost effect » (effet de coût irrécupérable). Ce dernier phénomène explique l’influence des investissements passés sur les décisions présentes, et la combinaison de ces deux phénomènes est utilisé comme modèle pour expliquer la désintégration de certaines sociétés anciennes (basés sur des témoignages archéologiques). Dans la deuxième partie de cette thèse, nous étudions les systèmes macroscopiques décrits par des équations différentielles stochastiques multidimensionnelles ou, de manière équivalente, par les équations multidimensionnelles de Fokker-Planck. Afin de calculer la fonction de distribution de probabilité (PDF), nous avons introduit un nouveau schéma alternatif de calcul basé sur les intégrales de chemin (« Path Integral ») lié aux processus stochastiques. Les calculs basés sur les intégrales de chemin sont effectués sur des systèmes uni et bidimensionnels et successivement comparés avec certains modèles dont on connaît la solution pour confirmer la validité de notre méthode. Nous avons également étendu ce schéma pour estimer le temps d’activation moyen (« Mean Exit Time »), ce qui a donné lieu à une nouvelle expression de calcul pour les systèmes à dimension arbitraire. A` noter que pour le cas des systèmes dynamiques à deux dimensions, les calculs de la fonction de distribution de probabilité ainsi que du temps de sortie moyen ont validé le schéma des intégrales du chemin. Ça vaut la peine de souligner que la perspective de poursuivre cette ligne de recherche repose sur le fait que cette méthode est valable pour les « non gradient systems » assujettis à des bruits d'intensité arbitraires. Cela ouvre la possibilité d'analyser des situations plus complexes où, à l'heure actuelle, il n'existe aucune méthode permettant de calculer les PDFs et/ou les METs.